LTI System 이해

LTI Sytem이란?

Linear Time Invariant System

즉, 선형이고 시간에따라 변하지 않는 시스템을 의미

Linear하다는 정의가 좀 와닿지 않을 수 있는데...선형성이니 가산성이니 하는것들은 너무 당연해서 잘 와닿지 않는다!!

나의 경우 어떤 결과에 영향을 미치는 parameter가 적다 정도로 이해하고있다.

 

공부1시간하다가 2시간한다고 성적 2배오르는건 아닌 것처럼 (...) 성적이라는 결과는 공부시간에만 비례하는게 아니고 아주아주 복잡한 요소들이 영향을 끼치므로

공부시간과 성적 사이의 블랙박스는 LTI로 표현 하기가 무척 힘들다.

그나마 다행인건 LTI로 그나마 모사가능한 System들이 몇가지 존재한다는 것이다.

 

소리를 예로 들면,

입(Source) -> 무언가를 통해서 -> 귀(Detector)

이 때, Detector에 감지된 정보로 Source를 정확히 추정하기위해서는 "무언가"에서 무슨일이 벌어지는지 알아야한다.

 

일단 뭔지 모르겠으니까 가장 간단한 시스템이라고 가정해보자

리니어하고, 시간에따라 변하지 않는 시스템 즉 LTI시스템이라고 가정해본다! (실제로는 non-linear time variant한 시스템이 대부분이지만 분석하기 어려우므로..)

 

 

 

저 물음표를 구하고 싶다..

 

 

그렇다면 저 Black Box를 어떻게 추정하느냐..

바로 impulse 신호를 넣어주는 것이다. (Dirac delta impulse function이라고도 한다)

 

Dirac Delta Function, 크기가 1인 delta function이다.

 

impulse신호의 가장 좋은 특징은 전 주파수 대역의 성분을 동일한 정도의 세기로 갖고있다는 것이다.

그렇기 때문에, 모든 주파수성분에 대해 어떤 특성을 갖는지 확인하기에 아주 좋다!

impluse는 t=0일때 크기가 1, 0이 아닐때 크기가 0인 함수를 의미한다 (실제로는 존재할수없는 이상적인 신호이기 때문에, 실제로른 최대한 비슷하게 만든 신호를 이용한다)

 

$$x(t) = \delta(t)$$
$$\int_{-inf}^{inf} \delta(t)e^{-jwt} ~dt = 1$$

이때  t가 0이 아닌 경우에는 그 값이 0이고

 

0 인 경우에는

$$ \delta(0)=1, e^{0}=1$$ 이므로 그 결과는 1이된다.

Fourier Transform하면 1로 쭉 그어진 상수값이 된다는 뜻~

 

impulse response 란 impluse * system으로 나타낼 수 있는데

즉, 내가 찾고자하는 system을 convolution window로 취급해서 impulse와 convolution한 결과라고 보면된다.

주파수도메인에서 보자면 impluse는 그냥 1이므로, 필터를 f도메인으로 나타낸것이 impluse response를 f도메인으로 나타낸 것 이라고 보면 되겠다

Transfer Function과도 일맥상통하는 의미이다. 나는 Transfer Function이라는 말이 좀 더 직관적이어서 선호함.

 

결론적으로, 우리는 모든 시스템을 LTI라고 가정하고 있기 때문에 이렇게 구해진 함수가 곧 구하고자하는 시스템을 표현한다고 할 수 있다. 즉, Impulse Response = Transfer Function = System이다!